Achsensymmetrie zur y-Achse liegt dann vor, wenn die Gleichung f(-x) = f(x) gilt. Man erhält also durch das Einsetzen von "-x" erneut die Ausgangsfunktion.

Achsensymmetrie: f(-x) = f(x)

Frage: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 2x⁴ + 2x² auf Symmetrieeigenschaften.

Rechnung:

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn die Gleichung f(-x) = -f(x) gilt. Man erhält demnach für "-x" die Ausgangsfunktion mit umgekehrten Vorzeichen.

Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)

Beispiel:

Frage: Untersuchen Sie die Funktion f(x)=x³-2x auf ihre Symmetrieeigenschaften.

Rechnung:

f(x) = x³ - 2x

f(-x) = (-x)³ – 2(-x)

f(-x) = -x³ + 2x

f(-x) = -(x³ – 2x)

-f(x) = -(x³ – 2x)

-f(x) = -f(x)

Sollte für f(-x) keines der beiden genannten Kriterien zutreffen, liegt auch keine der zugehörigen Symmetrieeigenschaften vor.

Spezialtipp: Das Bestimmen der Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen (Funktionen mit ganzzahligem, positivem Exponenten) kann mithilfe eines kleinen Tricks noch leichter durchgeführt werden. Hierfür betrachtet man die Exponenten. Sollte die Funktion nur gerade Exponenten haben, liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor. Sollte sie nur ungerade Exponenten besitzen, handelt es sich stattdessen um Punktsymmetrie zum Ursprung. Sind in der Funktion beide Exponentenarten vorhanden, liegt keine der beiden Symmetrieeigenschaften vor.

Zu beachten ist hierbei, dass der Summand, welcher gerade und ungerade Zahlenwerte annehmen kann, zu den geraden Exponenten zählt. Das absolute Glied ist hierbei der Summand am Ende der Funktion, der kein Faktor von x ist.

f(x) = 4x⁴ + 3x² + 4 → Nur gerade Exponenten und ein Summand → Achsensymmetrie zur y-Achse