Extrempunkte sind die Punkte im Graph, an denen der Funktionswert maximal (Hochpunkte) oder minimal (Tiefpunkte) wird. Um diese nachzuweisen, werden zwei Bedingungen geprüfen und anschließend die genaue Koordinate berechnet:

1. Zuerst muss die notwendige Bedingung geprüft werden. Finde hierfür alle x, für die gilt: f'(x) = 0
2. Mittels der hinreichenden Bedingung wird dann geprüft, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. f''(x) ≠ 0 → Ist f''(x) < 0 liegt ein Hochpunkt (Maximum) vor. Ist f''(x) > 0 liegt ein Tiefpunkt (Minimum) vor. Die zweite Ableitung darf beim Einsetzen des x-Wertes nicht 0 werden, sonst handelt es sich um einen Sattelpunkt.
3. Um anschließend den y-Wert des Extremums zu bestimmen, setzt man die einzelnen x-Werte in die Ausgangsfunktion ein.

Die Formeln noch einmal im Überblick:

1. Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
2. Hinreichende Bedingung: f'(x) ≠ 0
3. Y-Werte: f(x) = y

Beispiel:

Frage: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x³ – 3x ²– x + 3 auf ihre Extrempunkte.

Rechnung:

Ableitungen:

f(x) = x³ – 3x² – x + 3

f'(x) = 3x² – 6x² – 1

f''(x) = 6x – 6

f'''(x) = 6

Notwendige Bedingung: f'(x) = 0

0 = 3x² – 6x²– 1           |:3

0 = x² – 2x² – 1/3

→ p-q-Formel: x₁= 2,15; x₂= (-0,15)

Hinreichenden Bedingung: f ''(x) ≠ 0

f''(2,15) = 6,9 → 6,9 > 0 → TP

f''(-0,15) = -6,9 → -6,9 < 0 → HP

Y-Koordinate errechnen: f(x) = y

f(2,15) = -3,08 → TP(2,15/-3,08)

f(-0,15) = 3,08 → HP(-0,15/3,08)