Kurvendiskussion einer Kurvenschar
Bei der Kurvendiskussion einer Kurvenschar ist neben dem x-Wert noch ein weiterer Parameter vorhanden. Wichtig ist, dass man den zweiten Buchstaben bei der Rechnung wie eine Zahl behandelt, daher kann diese Variable bei Rechnungen und auch Lösungen einfach stehen bleiben.
Der Rechenweg selbst ändert sich ansonsten nicht. Um dies noch einmal zu verdeutlichen, haben wir unten eine Beispielrechnung eingefügt.
1. Vorarbeit:
fa(x) = x³ - 3ax²
fa‘(x) = 3ax² - 6ax
fa‘‘(x) = 6x - 6a
fa‘‘‘(x) = 6
2. Definitionsbereich: D = R 3. Symmetrie:Die Funktion besitzt keine Symmetrie, da
fa(x) = x³ – 3ax²
fa(-x) = (-x)³ – 3a(-x)² = -x³ – 3ax²
-fa(x) = (-x)³ + 3ax²
fa(x) ≠ f(-x)
fa(-x) ≠ -f(x)
4. Nullstellen:fa(x)= 0
0 = x³ - 3ax²
0 = x² (x – 3a) x1/2 = 0 → N1 (0 / 0)
0 = x - 3a x3 = 3a → N2 (3a / 0)
5. Extrema:Notwendige Bedingung: fa‘(x) = 0
0 = 3x² - 6ax
0 = x (3x – 6a)
x1 = 00 = 3x - 6a |+ 6a |: 3
x = 2a x2 = 2a
Hinreichende Bedingung: fa‘‘(x) ≠ 0
fa‘‘(0) = 6 · (0) - 6a
fa‘‘(0) = -6a < 0 → HP
fa‘‘(2a) = 6·(2a) - 6a
fa‘‘(2a) = 6a > 0 → TP
Y - Werte:
f (0) = 0³ - 3a 0² = 0 → HP (0 / 0)
f(2a) = (2a)³ - 3a ·(2a)² = - 4a³ → TP (2a / - 4a³)
6. Wendepunkt:Notwendige Bedingung: fa‘‘(x) = 0
0 = 6x - 6a
x = a
Hinreichende Bedingung: fa‘‘‘(x) ≠ 0
f‘‘‘(a) = 6 > 0 → R-L-WP
fa (a) = a³ - 3a· a² = -2a³ → R-L-WP (a / -2a³)
8. Zeichnung nur mit gegebenem a möglich.
9. Wertebereich: W = R.
