Beispiel einer Kurvendiskussion einer e-Funktion
1. Vorarbeit:
f(x) = (x + 1) · e-x
f‘(x) = 1 · e-x + (x + 1) · e-x · (-1)
f‘(x) = e-x - (x + 1) · e-x
f‘(x) = (1 - x - 1) · e-x
f‘(x) = -x · e-x
f‘‘(x) = (-1) · e-x + (-x) · e-x · (-1)
f‘‘(x) = -e-x + x · e-x
f‘‘(x) = (-1 + x) · e-x
f‘‘‘(x) = 1 · e-x + (-1 + x) · e-x · (-1)
f‘‘‘(x) = e-x + (e-x - x · e-x)
f‘‘‘(x) = 2 · e-x - x · e-x
f‘‘‘(x) = (2 – x) · e-x
2. Definitionsbereich: D = R
3. Symmetrie: Keine Symmetrie, da
f(x) = (x + 1) ∙ e-x
f(-x) = (-x + 1) e-(-x) = (-x + 1) ex
-f(x) = (-x - 1) ∙ e-x
f (x) ≠ f(-x)
f(-x) ≠ -f(x)
4. Nullstellen:0 = (x + 1) ∙ e-x | e-x ≠ 0
0 = x + 1 → x1= -1 → N1 (-1 / 0)
5. Extrema:Notwendige Bedingung: f‘(x) = 0
0 = -x ∙ e-x | e-x ≠ 0
0 = -x → x1= 0
Hinreichende Bedingung: f‘‘(x) ≠ 0
f‘‘(0) = (-1 + 0) ∙ e-0
f‘‘(0) = -1 ∙ 1 = -1 < 0 → HP
Y - Werte:
f(0) = (0 + 1) ∙ e0 = 1 → HP (0 / 1)
6. Wendepunkt:Notwendige Bedingung: f‘‘(x) = 0
0 = (-1 + x) ∙ e-x | e-x ≠ 0
0 = -1 + x
x = 1
Hinreichende Bedingung: f‘‘‘(x) ≠ 0
f‘‘‘(1) = (2 - 1) ∙ e-1
f‘‘‘(1) = 0,368 > 0 → R - L - WP
Y - Werte:
f(1) = (1 + 1) e-1 → R - L - WP (1 / 0,736)
8. Zeichnung siehe unten
9. Wertebereich: W = [∞;1]
