Beschreibung: In einer Urne sind fünf Kugeln. Von diesen fünf Kugeln sind drei Kugeln rot und zwei Kugeln blau. Nun zieht man nacheinander Kugeln aus der Urne und legt diese anschließend wieder zurück.

Frage: Wie oft muss man mindestens ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, mindestens 95% beträgt?

Vorüberlegung:

Die Bedingung für unsere Rechnung ist immer dann erfüllt, wenn mindestens eine blaue Kugel gezogen wird. Da dies mehrere Fälle umfassen kann (eine blaue Kugel wird gezogen, zwei blaue Kugeln werden gezogen...) ist es einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen. Zu dem Ereignis, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, ist das Gegenereignis, keine blaue Kugel zu ziehen. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht dem Ziehen von einer roten Kugel und beträgt 3/5 also 0,6.

Gesucht ist nun die Anzahl der Ziehungen n, bei der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% eine blaue Kugel gezogen wird. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit soll demnach 0,95 oder größer sein.

Rechenweg:

1. Auf der linken Seite unserer Formel setzt man die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, ein. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht: 1-Wahrscheinlichkeit nur rote Kugeln zu ziehen hoch n (=die Anzahl an Ziehungen): 

   1 – P(nur rote Kugeln)ⁿ

2. Auf der rechten Seite der Formel wird die gesuchte Wahrscheinlichkeit von 95% gesetzt. Zwischen der linken und rechten Seite wird anschließend ein Größer-Gleich-Zeichen (≥) gesetzt, denn P soll gleich oder größer 0,95 sein.

3. Anschließend muss die Gleichung nur noch umgestellt und ausgerechnet werden. Beim Umstellen muss beachtet werden, dass sich das Ungleichheitszeichen dreht, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert wird. Dies schließt auch den Logarithmus einer Zahl zwischen 0 und 1 ein.

4. Am Ende muss das n auf eine ganze Zahl aufgerundet werden. Die Antwort zu der Frage wäre nun, dass man mindestens 6-mal ziehen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens eine blaue Kugel dabei ist.

1 – P(nur rote Kugeln)ⁿ ≥ P (mind. 1x blau)

1 – 0,6ⁿ ≥ 0,95

1 – 0,6ⁿ ≥ 0,95 | –1

-0,6ⁿ ≥ -0,05 | : (-1)

0,6ⁿ ≤ 0,05

n · lg(0,6) ≤ 0,05 |: lg(0,6)

n ≥ lg (0,05) : lg (0,6)

n ≥ 5,86

n = 6