Inverses Baumdiagramm
Teilweise lassen sich gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeiten nicht, wie bei dem letzten Beispiel, direkt aus den Textinformationen ablesen. Stattdessen benötigt man als Zwischenschritt ein Inverses Baumdiagramm. In diesem werden die Stufen des Ausgangsdiagramms umgekehrt. Wenn zunächst in der ersten Stufe des Baums das Ereignis A betrachtet wurde und danach das Ereignis B in der zweiten Stufe, so ist es nun genau umgekehrt. Dies hat zur Folge, dass sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf den zweiten Ästen des Baumes ändern. Wie der Abbildung zu entnehmen ist, ist im ersten Baum PA(B) abgebildet, während auf dem zweiten Baum PB(A) dargestellt ist.
Um ein Inverses Baumdiagramm aufzustellen, wird wie folgt vorgegangen:
1. Stelle ein Baumdiagramm mit den gegebene Werten auf.
2. Berechne bei dem erstellten Baumdiagramm die nötigen Pfadwahrscheinlichkeiten P(A∩B).
3. Errechne die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses der zweiten Stufe. In unserem Fall wäre dies P(B).
4. Schreibe nun die totale Wahrscheinlichkeit auf den ersten Ast des neuen Baumdiagramms und ergänze die Pfadwahrscheinlichkeiten aus Schritt2.
5. Um PB(A) zu bestimmen, teile nun die Pfadwahrscheinlich durch die totale Wahrscheinlichkeit.
Eine von zehntausend Personen hat die Krankheit V. Für diese Krankheit wurde ein einfacher Test entwickelt, der bei Kranken mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% und bei Gesunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% die korrekte Diagnose liefert. Eine Person, die sich dem Test unterzieht, bekommt nun angezeigt, dass sie die Krankheit habe. Wie wahrscheinlich ist es, dass dieser Patient wirklich krank ist?
Vorüberlegung:
Zunächst müssen wir die Fälle festlegen:
K: "Die getestete Person ist krank"
T: "Der Test zeigt ein positives Resultat"
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getesteter Mensch tatsächlich krank ist. Dementsprechend suchen wir PT (K).Rechnung:
1. Aus dem Text lassen sich nun für die kranken Personen folgenden Wahrscheinlichkeiten entnehmen:
P(K) = 0,0001 ; PK (T) = 0,9 ; PK (T) = 0,98.
Als Gegenwahrscheinlichkeit lässt sich somit bestimmen:
P(K) = 0,9999 ; PK (T) = 0,1 ; PK (T) = 0,02.
Diese Werte können nun in ein Baumdiagramm eingetragen werden.
2. Berechnet werden die nötigen Pfadwahrscheinlichkeiten:
