Einleitung: Der Erwartungswert allein reicht nicht vollkommen aus, um eine Zufallsvariable ausreichend zu beschreiben. Eine weitere hilfreiche Angabe zur Beschreibung von Zufallsvariablen ist die Streuung der Variablen um den Mittelwert, die sogenannte Varianz.

Um diesen Sachverhalt näher zu beleuchten, eignet sich auch an dieser Stelle wieder der Notenspiegel einer Klausur.

So sorgen zehnmal 15 Punkte und zehnmal 1 Punkt für denselben Notenschnitt wie 20 mal 8 Punkte. Bei der ersten Klausur sind jedoch zehn Leute durchgefallen, während bei der anderen Klausur alle Schüler bestanden haben. Die Varianz kann genutzt werden, um zu zeigen, wie weit die Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann, vom Erwartungswert abweichen.

Definition: Die Varianz gibt das Maß an, in dem eine Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert abweichen kann.

Rechenweg:

Berechnet wird die Varianz, indem die Abstände (also die Differenz) der einzelnen Werte der Zufallsvariable zum Erwartungswert bestimmt werden.

Anschließend werden diese quadriert und mit der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert.

Als Formel sieht dies wie folgt aus:

Ausgehend von einem fairen Würfel mit sechs Seiten, können wir die Varianz bei einem Würfelwurf folgendermaßen bestimmen:

1. Errechnen der einzelnen Wahrscheinlichkeiten: 1/6
2. Berechnen des Erwartungswerts: 3,5
3. Einsetzen der Einzelwahrscheinlichkeiten, des Erwartungswerts und der Wahrscheinlichkeiten in die Formel:

Definition: Bei der Standardabweichung handelt es sich um ein weiteres Maß der Streuung. Die Standartabweichung lässt sich aus der Wurzel der Varianz berechnen.