Binomialverteilung
Die Binomialverteilung beschreibt eine der wichtigsten Verteilungen von Wahrscheinlichkeiten in der Stochastik. Wenn sie gilt, ist es möglich, Formeln zu verwenden, die das Bestimmen des Erwartungswerts, der Varianz und der Standardabweichung erleichtert. Sie findet beispielsweise bei Bernoulli-Experimenten und -Ketten Anwendung.
Definition: Ein Zufallsexperiment, welches genau zwei Ausgangsmöglichkeiten besitzt, nennt man Bernoulli-Experiment. Wenn sich auch bei mehrfacher Wiederholung des Experiments die Wahrscheinlichkeiten für die Ausgangsmöglichkeiten nicht verändern, spricht man von einer Bernoulli-Kette.
Beispiele für solche Experimente sind:
- Umfragen
- Mehrfacher Wurf einer Münze
- Überprüfungen von Bauteilen
Rechenweg:
Wenn ein solches Experiment vorliegt, dann kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Bernoulli-Formel berechnet werden:
Die Buchstaben stehen für folgendes:
| n | Die Anzahl der Durchführungen des Experiments |
| k | Die Anzahl der Treffer |
| p | Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer eintritt |
| 1-p | Die Gegenwahrscheinlichkeit zu p |
Beispiel:
Beim mehrfachen Münzwurf gibt es zwei Ausgänge: Kopf und Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für diese Ausgänge ändert sich nicht, egal wie oft die Münze geworfen wird. Wenn nun nach der Wahrscheinlichkeit für 20 mal Kopf in 50 Würfen gefragt ist, könnte man folgende Rechnung anstellen:
p=0,5 n=50 k=20 1-p=1-0,5=0,5
Da es bei der Binomialverteilung nur zwei mögliche Ereignisse mit jeweils zwei Wahrscheinlichkeiten gibt, können Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung mithilfe der unten stehenden Formeln noch leichter errechnet werden.
