Die Binomialverteilung ist sehr praktisch, um punktuelle Wahrscheinlichkeiten auszurechnen. Lautet die Frage: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in zehn Würfen mit einer Münze sechs-mal Kopf geworfen wird?“, kann diese Aufgabe mithilfe der Bernoulli-Formel leicht gelöst werden. Wenn man aber wissen möchte „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in zehn Würfen höchstens sechs-mal Kopf zu werfen?“, wird eine andere Herangehensweise benötigt, da diese Frage eine Vielzahl von Möglichkeiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten (einmal Kopf, zwei Kopf, drei Kopf, usw.) umfasst. Da das Ausrechnen von „höchstens-Aufgaben“ sehr aufwendig sein kann, wird uns an dieser Stelle mit einer Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten geholfen. Für ein Experiment, welches eine Bernoulli-Kette darstellt, kann die Wahrscheinlichkeit einfach aus dieser Tabelle abgelesen werden.

Hierfür benötigt man lediglich:

• Trefferwahrscheinlichkeit = p
• Anzahl der gewünschten Treffer = k
• Anzahl der Durchführungen des Experiments = n

Rechenweg:

Bei diesem Aufgabentypen gibt es je nach Fragestellungen unterschiedliche Herangehensweisen, welche eine Lösung liefern. Die Fragestellungen können grob in fünf Gruppen unterteilt werden:

Die Frage nach...

• exakt k-Treffer: B(n;p;k)
• höchstens k-Treffer: P(x≤k)=F(n;p;k)
• mindestens k-Treffer:P(x≥k)=1-F(n;p;k-1)
• weniger als k-Treffer: P(x<k)=F(n;p;k-1)
• mehr als k-Treffer: P(x>k)=1-F(n;p;k)

Auch wenn diese Beschreibung bisher recht wenig Informationen hergibt, wird die Herangehensweise anhand der folgenden Beispiele noch einmal deutlich.

Aufgabe: In einer großen Fabrik werden Schrauben gefertigt und in Kisten verpackt. Diese Kisten enthalten jeweils 100 Schrauben. Die produzierten Schrauben können fehlerfrei oder aber fehlerhaft sein. Eine Fehlproduktion tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% auf.

Vorüberlegung: Da in der Fabrik sehr viele Schrauben gefertigt werden, können wir von einer "unendlichen" Menge an Schrauben ausgehen. Bei dieser unendlich großen Menge kann angenommen werden, dass bei dem zufälligen Ziehen von Schrauben aus einer Kiste die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte oder fehlerfreie Schraube konstant bleibt. Durch diesen Sachverhalt ist die Bedingung für Bernoulli-Ketten (nur zwei mögliche Ereignisse mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit) erfüllt.

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Kiste fünf fehlerhafte Schrauben sind?

Rechenweg:

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 10 Schrauben fehlerhaft sind?

Rechenweg:

x = höchstens 10 Schrauben; p = 0,1 ; n = 100

P(x≤10) = B(100;0,1;0) + B(100;0,1;1) + ... + B(100;0,1;10)

P(x≤10) = F(100;0,1;10)

P(x≤10) = 0,5832

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 80 Schrauben fehlerfrei sind?

Rechenweg:

x = mind. 80 Schrauben; p = 0,9 (fehlerfrei) ; n = 100

P(x≥80) = B(100;0,9;0) + B(100;0,9;1) + ... + B(100;0,9;79)

P(x≥10) = 1 – F(100;0,9,79)

P(x≥10) = 0,99919

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 5 Schrauben fehlerhaft sind?

Rechenweg:

x = weniger als 5 Schrauben; p = 0,1; n = 100

P(x<5) = B(100;0,1;0) + B(100;0,1;1) + B(100;0,1;2)+ B(100;0,1;3) + B(100;0,1;4)

P(x≤5) = F(100;0,1;4)

P(x≤5) = 0,2371

Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 98 Schrauben fehlerfrei sind?

Rechenweg:

x = mehr als 98 Schrauben; p = 0,9; n = 100

P(x≥98) = B(100;0,9;0) + B(100;0,9;1) + ... + B(100;0,9;98)

P(x≥98) = 1 – F(100;0,9;98)

P(x≥98) = 1 – 0,99968

P(x≥98) = 0,00032