Beispiel einer Kurvenschar einer e-Funktion
1. Vorarbeit:
fa(x) = (x + a) · ex-a
fa‘(x) = 1 · ex-a + (x + a) · ex-a
fa‘(x) = (x + a + 1) · ex-a
fa‘‘(x) = 1 · ex-a + (x + a + 1) · ex-a
fa‘‘(x) = (x + a + 2) · ex-a
fa‘‘‘(x) = 1 · ex-a + (x + a + 2) · ex-a
fa‘‘‘(x) = (x + a + 3) · ex-a
2. Definitionsbereich: D = R
3. Symmetrie: Keine Symmetrie, da
fa(x) = (x + a) · ex-a
fa(-x) = (-x + a) · e-x-a
-fa(x) = -(x + a) · ex-a
fa(x) ≠ fa(-x)
fa(x) ≠ -fa(x)
4. Nullstellen:0 = (x + a) · e-x | e-x ≠ 0
0 = x + a → x1 = -a → N1 (-a / 0)
5. Extrema:
Notwendige Bedingung: fa‘(x) = 0
0 = (x + a +1) · e-x | e-x ≠ 0
0 = (x + a +1)
x1 = - a – 1
Hinreichende Bedingung: fa‘‘(x) ≠ 0
fa ‘‘(- a – 1) = (- a –1 + a + 2) · e-a–1–a
fa ‘‘(- a – 1) = 1 · e-2a–1 > 0 ® TP
Y - Werte:
fa (- a - 1) = (- a – 1 + a) · e-a–1–a = -1 · e-2a–1
→ TP (- a –1 / -1 · e-2a-1)
6. Wendepunkt:
Notwendige Bedingung: fa‘‘(x) = 0
0 = (x + a + 2) · ex-a | e-x ≠ 0
0 = x + a + 2
x1 = - a – 2
Hinreichende Bedingung: fa‘‘‘(x) ≠ 0
fa‘‘‘(- a – 2) = (- a – 2 + a + 3) · e-a–2–a
fa‘‘‘(- a – 2) = 1 · e-2a–2 > 0 → R - L - WP
Y-Wert
fa(- a – 2) = (- a –2 + a) · e-a–2–a
→ R - L - WP (- a - 2 / - 2 · e-2a–2)
8. Zeichnung: siehe unten
9. Wertebereich: W = [- a - 1; ∞]
