Für die Tangente gilt t(x) = mx + c.

Für den Berührungspunkt P(x₀/y₀) zwischen Tangente und Graph gilt:

1. Die Steigungen sind gleich groß: f'(x₀) = t'(x₀) = m
2. Der Graph und die Tangente teilen an diesem Punkt die gleichen Koordinaten: f(x₀) = t(x₀)

Aufstellen einer Tangente:

Sucht man also eine Tangente einer Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle x₀, muss man dabei folgendermaßen vorgehen:

1. Schreibe die Funktionsgleichung der Funktion f(x) sowie Kontaktstelle x₀ heraus.
2. Stelle die erste Ableitung von f(x) auf und setzen setze x₀ ein. Das Ergebnis ist die Steigung m der Tangente.
3. Anschließend bestimmen wir die genaue Koordinate des gemeinsamen Punktes von Tangente und Funktion durch Berechnen des y-Wertes. Hierfür wird der x-Wert in die Funktion f(x) eingesetzt
4. Abschließend kann man x, y und die Steigung m in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und so b bestimmen.

1. Sammeln aller nötigen Informationen:

   f(x) = 0,5x³ – 2x → x₀ = 1

2. Bilden der ersten Ableitung und Einsetzen von x₀:

   f‘(x) = 1,5x² – 2

   f‘(1) = 1,5 · 1² – 2

   f‘(1) = 0,5  →  m = 0,5

3. y-Wert berechnen:

   f(1) = 0,5 · 1³ – 2 · 1

   f(1) = - 1,5  →  P (1 / -1,5)

4. b bestimmen:

   P (1 / -1,5) in t(x) einsetzen: t(1) = -1,5

   -1,5 = -0,5 · 1 + b

   b = -1

   t(x) = -0,5x – 1

Der Begriff Orthogonale leitet von den griechischen Wörtern ''orthos'' (richtig, recht) und ''gonia'' (Ecke, Winkel) ab und bedeutet rechtwinkelig bzw. senkrecht. Eine Orthogonale steht senkrecht zu der Tangente. Sie teilt sich denselben Punkt wie Graph und Tangente, weist jedoch eine andere Steigung als diese beiden auf.

Aufstellen einer Orthogonalen:

1. Um die Steigung der Orthogonalen zu berechnen, kann folgende Formel verwendet werden: m_n = - 1/m_t ® →m_n = Steigung der Orthogonalen und m_t = Steigung der Tangente  → Die Steigung der Orthogonalen entspricht dem negativen Kehrwert der Steigung der Tangente.
2. Mit der Steigung sowie dem Punkt P der Orthogonalen kann – ähnlich wie bei der Tangente – der Parameter c ausgerechnet und die allgemeinen Geradengleichung n(x)= mx + c aufgestellt werden.

Beispiel:

Tangente: t(x) = -0,5x – 1 → m_t = -0,5; P (1 / -1,5)

Orthogonale: n = mx + b

m_n = (-1/m_t) → m_n = 2

P in n(x) einsetzen:

- 1,5 = 2 · 1 + b

b = - 3,5

n(x) = 2 – 3,5