Die Integralrechnung dient der Bestimmung einer Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse. Um dies zunächst zu vereinfachen, gibt es die Überlegung Rechtecke zwischen der Funktion und der x-Achse zu zeichnen. Die Breite dieser Rechtecke wird ∆x genannt und im Vornerein angegeben. Die Höhe ergibt sich aus dem Funktionswert. Aus Breite und Höhe kann der Flächeninhalt der Rechtecke berechnet werden. Durch Addieren der Fläche der Rechtecke kann man ein annäherndes Ergebnis erhalten, ohne direkt mit der Funktion zu rechnen.

Wie man unten sieht, sind die Rechtecke der Untersumme immer etwas unter dem Graphen, während der Rechtecke zur Berechnung der Obersumme immer etwas über dem Graphen liegen. Um der Abweichung dieser beiden Schätzungen entgegen zu wirken, kann man die Untersumme und die Obersumme nach dem Addieren durch 2 teilen, um so den Mittelwert zu erhalten:

Frage: Wie groß ist die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse f(x)=3x²+4 im Bereich von 0 bis 3?

Rechnung:

f(x) = 3x² + 4; Intervall [0 – 3]; n = Anzahl an Rechtecke = 3

Fläche des Rechtecks:Δx × f(x)

Untersumme: f(0) × 1 + f(1) × 1 +f(2)×1=4+7+16=27(FE)

Obersumme: f(1) × 1 + f(2) × 2 + f(3) × 1=7+16+31=54(FE)

(US + OS) : 2 = (27 + 54) : 2 = 40,5 (FE)

Um eine noch geringere Abweichung zu erzielen, kann man nun die Anzahl der Streifen erhöhen. Wenn man diese bis ins Unendliche erhöhen würde, so hätte man die genaue Fläche zwischen Graph und Achse. Es gäbe keine Abweichungen mehr, da die Rechtecke weder über noch unter dem Graphen, sondern genau am Graphen enden.

Leider ist diese Methode sehr zeitaufwendig und für eine endliche Anzahl an Streifen immer ungenauer als die Integralrechnung.

Die Streifenmethode wird, falls im Abitur danach gefragt werden sollte, meistens im direkten Vergleich zum Integral abgefragt. Die Aufgaben sind dann so ausgelegt, dass du die Fläche unter dem Graphen mit einer festgelegten Anzahl an Streifen berechnen sollst und anschließend mit der genauen Fläche, welche das Integral liefert, vergleichen musst.

Bei dieser Art von Aufgaben ist es wichtig, dass man weiß, dass mehr Streifen eine genauere Fläche liefern und die Abweichung zum Integral so reduziert werden kann. Für eine endliche Anzahl an Streifen gibt es jedoch immer eine Abweichung.