Das „Ermitteln einer Stammfunktion durch Koeffizientenvergleich“ klingt zunächst kompliziert, ist aber deutlich einfacher als du vielleicht denkst. Das Vorgehen erklären wir im Folgenden und zeigen es anhand eines Beispiels:

Bei dieser Art von Aufgaben sind häufig die Ausgangsfunktion f(x) und eine mit Parametern versehene Stammfunktion F(x) gegeben. Ziel ist es dabei die Parameter von F(x) zu ermitteln. Dies gelingt durch einen Vergleich der Vorfaktoren.

Die Vorfaktoren lassen sich bestimmen, indem man sich an folgendes Schema hält:

1. Leite die Stammfunktion mit den Parametern ab.
2. Vereinfache nun diese Ableitung, also F´(x), soweit möglich.
3. Setze die Vorfaktoren von den x-Werten mit den Vorfaktoren aus der Ausgangsfunktion f(x) gleich. Sollte also bei F‘(x) „2a“ vor dem x² stehen und in der Ausgangsfunktion steht eine „4“ vor dem x², so musst du diese gleichsetzen. Löse die Gleichungen anschließend nach den Parametern auf.
4. Um zuletzt dein Ergebnis zu prüfen, kannst du alle ermittelten Parameter in F(x) einsetzen, diese Funktion erneut ableiten, kürzen und anschließend erhältst du den selben Term, welcher zu Beginn bereits als f(x) gegeben war.

Beispiel:

Gegeben seien die Funktionen F(x) und f(x).

Bestimmen Sie mit Hilfe eines Termvergleichs a und b.

F(x) = ae^2x + be^-x; f(x) = e^2x + e^-x

1. + 2. Ableiten und Vereinfachen der Stammfunktion:

F‘(x) = 2ae^2x + (-b)۰e^-x

3. Gleichsetzen der Vorfaktoren:

1 = 2a

a = 0,5

1 = - b

b = - 1

4. Ergebnis prüfen:

a und b in F‘(x)

2۰0,5 e^2x + (- (- 1))۰e^-x = e^2x + e^-x = f(x)