Um die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen in einem bestimmten Intervall berechnen zu können, muss folgende Überlegung angestellt werden:

Es ist möglich, dass Abschnitte des Graphen in dem vorgegebenen Intervall unter- und oberhalb der x-Achse liegen. Diese werden durch eine oder mehrere Nullstellen, also Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse, getrennt.

Würden wir ein Integral bilden ohne dabei die Nullstellen zu beachten, dann würde die Fläche unterhalb der Achse negativ zu unserer Rechnung beitragen. Um dies zu verhindern, bietet sich folgende Herangehensweise an:

1. Zuerst werden die Nullstellen der Funktion bestimmt.
2. Anschließend wird das gewünschte Intervall des Integrals an den Nullstellen aufgeteilt. Dabei wird der Beginn des ersten Integrals durch die untere Grenze des vorgebenden Intervalls gebildet und das Ende dieses Integrals durch die erste Nullstelle. Das zweite Integral reicht von der ersten Nullstelle bis zur nächsten Nullstelle. Das nächste Integral reicht wieder zur nächsten Nullstelle, bis schließlich die obere Grenze des Intervalls erreicht wird.
3. Zum Schluss werden die Integrale noch addiert. Dabei ist zu beachten, dass jedes Integral Betragsstriche erhält, damit es positiv zur Gesamtfläche beiträgt, egal, ob dieses oberhalb oder unterhalb der Achse verläuft.

Frage: Gegeben ist die Funktion f(x). Welche Fläche umfasst die Funktion im Intervall [-3;2]?

Rechnung:

Soll eine Fläche errechnet werden, welche zwischen einem Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird, ist anfangs meist noch kein Intervall vorgegeben. Dieses Intervall kann jedoch berechnet werden, indem die Nullstellen bestimmt werden. Diese bilden unser Intervall, da sie jene Punkte angeben, die unsere gesuchte Fläche eingrenzen.

Sind diese Nullstellen bestimmt, kann das Integral zwischen ihnen gebildet werden. Falls mehr als zwei Nullstellen gegeben sind, müssen auch mehrere Integrale gebildet werden.

Beispiel:

Frage: Welche Fläche schließt die Funktion f(x)=x²+4 innerhalb der Nullstellen (x₁=-2; x₂=2) ein?

Rechnung: