Bei der Integralrechnung gibt es Aufgaben, bei denen die Funktion keine Nullstellen besitzt. Bei solchen nähert sich der Graph der x-Achse zwar stetig an, schneidet diese jedoch nie. In solchen Fällen lässt sich mit Hilfe des uneigentlichen Integrals dennoch eine endliche Fläche berechnen.

Auch wenn der Graph die x-Achse niemals schneidet, wird die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse ab einem bestimmten Punkt so klein, dass sie nicht mehr relevant zum Ergebnis beiträgt.

Zur Verdeutlichung: Wenn wir beispielsweise für eine Funktion in den Grenzen von 0-5 eine Fläche von 2,5 (FE) haben und in den Grenzen von 5-15 nur noch eine Fläche von 0,00005 (FE), so bekommen wir bei einem auf zwei Nachkommastellen gerundetem Ergebnis die selbe Lösung von 2,50 (FE) unabhängig davon, ob wir die Fläche von 0-5 oder von 0-15 betrachten. Um dies an einem Beispiel zu verdeutlichen, schauen wir uns folgende Aufgabe an:

Ein Vulkan soll durch drei Funktionen dargestellt werden.

Aufgabe: Gesucht ist die Querschnittsfläche dieses Vulkans.

Vorüberlegung: Wie in der Abbildung zu erkennen ist, nähern sich die Funktionen f(x) und g(x) jeweils an die x-Achse an, schneiden diese jedoch nicht. Somit liegt hier ein uneigentliches Integral vor. Zum Berechnen der Querschnittsfläche des Vulkanes müssen die jeweiligen Integrale der drei Funktionen gebildet und addiert werden:

Aus Symmetriegründen sind die Integrale von f(x) und h(x) gleich groß, sodass nur eines der beiden berechnet und die Fläche anschließend verdoppelt werden kann:

Bei der Schreibweise des uneigentlichen Integrals ist jedoch folgendes zu beachten: Man darf als Grenze weder unendlich noch minus unendlich einsetzen. Daher beschreibt man das Integral mit dem lim, wie es in der Beispielsrechnung gezeigt wurde.

Antwort: Die Fläche beträgt also: 2 FE + 2 · 1 FE = 4 FE