Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn sich eine Funktion innerhalb eines Zeitschritts immer um denselben Faktor erhöht oder verkleinert. Ein Beispiel hierfür wäre eine Funktion, die alle 2s um 50% wächst. In einer Tabelle ist diese Eigenschaft daran erkennbar, dass f(t+1)/f(t) konstant ist.

Klassische Beispiele für Wachstumsfunktionen sind das Wachstum einer Tierpopulation oder eines Bakterienstammes. Das Gegenteil von Wachstumsfunktionen sind Zerfallsfunktionen. Typische Beispiele hierfür sind der Zerfall eines radioaktiven Materials oder der Abbau von Medikamenten im Körper.

Aufgabe: Ein Bauer besitzt eine Herde Schafe. Seine Herde umfasst 16 Tiere. Seine Frau ist Mathematiklehrerin und hat durch ihre Beobachtungen festgestellt, dass das Wachstum der Herde durch die Funktion f(x) beschrieben werden kann. Hierbei steht f(x) für die Anzahl der Schafe und x für die vergangene Zeit in Jahren.

f(x) = 16 ∙ e^0,25x

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Anzahl der Schafe in der Herde verdoppelt, vervierfacht bzw. verachtfacht hat.

Vorüberlegung: Zu Beginn (t=0) sind 16 Schafe vorhanden. Um die Zeit zu ermitteln, nach der sich die Schafe verdoppelt (32) bzw. vervierfacht (64) oder verachtfacht (128) haben, müssen die entsprechenden Werte für f(x) eingesetzt werden.

Antwort: Die Herde ist nach ca. 2,77 Jahren doppelt so groß wie zu Beginn. Anschließend verdoppelt sie sich in demselben Zeitraum erneut. Wenn eine Funktion im selben Zeitraum um denselben Faktor wächst, hier Verdopplung der Anzahl der Tiere in der Herde, spricht man von exponentiellem Wachstum.