Unter einem Rotationskörper versteht man einen Graphen, der um die x-Achse rotiert wird. Dadurch entsteht ein dreidimensionaler Körper, dessen Volumen mit folgender Formel berechnet werden kann:

Bei den zugehörigen Aufgabentypen kann ähnlich wie bei bei 'normalen' Integralen vorgegangen werden:

1. Zunächst werden die Grenzen des Integrals (also die Nullstellen) bestimmt. Möglicherweise werden die Grenzen auch im Aufgabentext vorgegeben.
2. Anschließend kann dann das Volumen des Körpers mithilfe der oben aufgeführten Formel berechnet werden.

Aufgabe: Die Funktion f(x) = x³-9x²+24x-16 schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert wird, erhält man die Form eines Kreisels. Dieser Kreisel soll nun aus Plastik hergestellt werden. Wieviel Material benötigt man, um diesen Kreisel herzustellen? (Gehen Sie davon aus, dass es keinen Verschleiß von Material gibt.)

Vorüberlegung: Zunächst müssen wir die Nullstellen bestimmen, um zu ermitteln in welchem Bereich die Funktion und die x-Achse eine Fläche einschließen. Anschließend können wir innerhalb dieser Grenzen die Formel für das Rotationsvolumen anwenden.

f(x) = 0

Der Taschenrechner liefert mithilfe der Polynomdivision folgendes Ergebnis: N(1/0) und N₂(4/0).

Anschließend wird das Volumen mittels der Formel und den Grenzen 1 und 4 berechnet.

Antwort: Wir benötigen demnach mindestens 65,43 Volumeneinheiten Plastik.