Bei einem gewöhnlichen Gleichungssystem gibt es genauso viele Gleichungen wie Variablen. Daher können zum Bestimmen der Variablen die oberen Verfahren so lange angewandt werden, bis alle Variablen bestimmt sind.

Beispiel:

I 2 = 1s -2r

II -4 = -2s – 4r

Subtraktionsverfahren anwenden: 2۰I – II

4 = 2s – 4r

– -4 = -2s – 4r

8 = 4s

s = 2

s in II einsetzen:

-4 = -2۰2 – 4r

0 = r

Überbestimmte Gleichungssysteme werden ähnlich wie gewöhnliche Gleichungssysteme gelöst. Jedoch werden zum Lösen anfangs nur so viele Gleichungen verwendet wie auch Variablen vorhanden sind. Anschließend werden die errechneten Variablen in die noch übrigen Gleichungen eingesetzt, um das Ergebnis zu prüfen.

Beispiel:

I 1 = -0,5s – 0,5r

II -3 = 4s – r

III -1 = 2s – r

Subtraktionsverfahren anwenden: III – II

-1 = 2s – r

– -3 = 4s – r

2 = -2s

s = -1

s in II einsetzen:

-3 = -4 – r

r = -1

Zur Probe s und r in I einsetzen:

1 = 1

Die Lösung ist richtig.

Bei unterbestimmten Gleichungssystemen funktioniert diese Herangehensweise nur eingeschränkt. Wie man im Beispiel sieht, gelingt es nicht, eine Gleichung mit lediglich einer Variable aufzustellen. Durch die Unterbestimmung bleiben stets mindestens zwei Variablen in einer Gleichung übrig. In diesem Fall, geht man wie folgt vor:

1. Wir stellen die Gleichung mit zwei Variablen nach einer Variablen um und ersetzen die andere Variable durch den Parameter t.
2. Nun bestimmen wir die übrigen Variablen in Abhängigkeit von t. Ziel ist es, dass wir jede Variable in Abhängigkeit von t bestimmen.
3. t ist ein frei wählbarer Parameter, weshalb unendlich viele Lösungen des LGS existieren. Wird eindeutig nur eine Lösung gesucht, kann für t irgendein Wert definiert werden. Hierfür bieten sich einfache Werte wie 0 oder 1 an.

Die unterbestimmten Gleichungssysteme zeichnen sich dadurch aus, dass es unendlich viele Lösungen gibt, welche durch das beliebige Festlegen von t erreicht werden können.

Beispiel:

I 2a + 3b + 4c = 8

II 3a – 2b –2c = 8

Additionsverfahren anwenden: I + 2II:

2a + 3b + 4c = 8

6a – 4b – 4c = 16

8a – b =24

Umstellung und a = t setzen:

b = 8a – 24 | a = t

b = 8t – 24

Restliche Parameter bestimmen: a und b in I einsetzen:

2t + 3۰(8t – 24) + 4c

26 t – 72 + 4c = 8

4c = 26 t +80

c= -6,5t + 20

Eine Lösung mit t = 1 bestimmen:

a = 1; b = -16; c = 13,5