Das Thema Lagebeziehung zwischen Ebenen ist kein Pflichtstoff des aktuellen Kerncurriculums, wurde von uns jedoch aus Gründen der Vollständigkeit im Skript beibehalten.

Lagebeziehungen:

Für die Lage zwischen zwei Ebenen gibt es wieder drei verschiedenen Varianten:

1. Die beiden Ebenen können echt parallel zueinander liegen, haben also keine Schnittgerade.
2. Die beiden Ebenen können identisch sein.
3. Sollten die ersten beiden Fälle nicht vorliegen, so haben die beiden Ebenen immer eine Schnittgerade.

Um herauszufinden, welcher dieser Fälle vorliegt, gehen wir wie folgt vor:

2a. Sind diese gleich oder Vielfache voneinander, sind die Ebenen echt parallel oder identisch. Anschließend muss unterscheiden werden, ob sie identisch oder echt parallel sind: Identisch sind zwei Ebenen, wenn sie alle Punkte teilen. Liegt ein Punkt in der einen aber nicht in der anderen Ebene, kann es sich somit nicht um identische Ebenen handeln. Um von einer Ebene einen Punkt zu erhalten, bilden wir einen Spurpunkt. Dazu kann beispielsweise der x-Wert mit dem Zahlenwert der rechten Seite der Gleichung gleichgesetzt werden. Dieser Spurpunkt wird anschließend in die zweite Koordinatengleichung eingesetzt. Liegen alle Punkte in der Ebene, erhalten wir eine wahre Aussage. Sollte dies nicht der Fall sein, sind die Ebenen echt parallel.

2b. Sind die Normalenvektoren unterschiedlich, haben die Ebenen eine Schnittgerade.

Esmuss man unterscheiden, ob sie identisch oder echt parallel sind. Identisch sind zwei Ebenen, wenn sie alle Punkte teilen. Liegt ein Punkt in der einen aber nicht in der anderen Ebene, kann es sich somit nicht um identische Ebenen handeln. Um von einer Ebene einen Punkt zu erhalten, bilden wir einen Spurpunkt. Dazu kann beispielsweise der x-Wert mit dem Zahlenwert der rechten Seite der Gleichung gleichgesetzt werden. Dieser Spurpunkt wird anschließend in die zweite Koordinatengleichung eingesetzt. Liegen alle Punkte in der Ebene, erhalten wir eine wahre Aussage. Sollte dies nicht der Fall sein, sind die Ebenen echt parallel.

Zu 2b: Bei unterschiedlichen Normalenvektoren geht man folgendermaßen vor:

1. Zuerst bilden wir ein Gleichungssystem mit beiden Ebenen und eliminieren eine der Variablen. Hierfür bietet sich das Additionsverfahren an.
2. Nun haben wir eine Gleichung mit zwei Variablen. Eine der beiden ersetzen wir nun durch t.
3. Als nächstes bestimmen wir alle Variablen in Abhängigkeit von t. Ziel ist es hier, das unterbestimmte Gleichungssystem zu lösen, damit sich eine Schnittgerade ergibt.
4. Anschließend schreiben wir die Lösungen als Vektor auf. Wenn wir nun die Zahl mit dem Parametert und die andere Zahl trennen, erhalten wir unsere Schnittgerade.

Frage: Gegeben sind die Ebene E₁ und E₂. Bestimmen Sie das Lageverhältnis der beiden zueinander.

Rechnung:

Frage: Gegeben sind die Ebene E₁ und E₂. Bestimmen Sie das Lageverhältnis der beiden zueinander.

Rechnung:

Frage: Gegeben sind die Ebene E₁ und E₂. Bestimmen Sie das Lageverhältnis der beiden zueinander.

Rechnung:

Die Lagebeziehung zwischen Ebenen wurde bisher eher selten abgefragt. Wichtig ist es hierbei die drei möglichen Lagebeziehungen von Ebenen zu kennen. Wenn du diese verinnerlicht hast, kannst du mit Hilfe des Algorithmus sehr gut eine Aufgabe lösen, in der es um eine Lagebeziehung zweier Ebenen geht und auch hier die Punkte einsammeln.