Immer mal wieder findet eine Aufgabe den Weg ins Abitur, bei der es sich um ein Gewinnspiel handelt, für welches bestimmt werden muss, ob es sich um ein faires Spiel handelt oder nicht. Hier hilft die bekannte Tabelle, welche den Gewinn und die Wahrscheinlichkeit für diesen aufführt. Auch wenn nicht explizit danach gefragt ist, raten wir dir diese Tabelle kurz niederzuschreiben. Dies vereinfacht dir die Aufgabe und du kannst dir auf diese Weise auch hier sicher die Punkte holen.

Aufgabe: Ein Jahrmarktbetrüger manipuliert eine Münze, damit er mit dieser zu 75% Kopf wirft. Nun möchte er Geld mit der Münze verdienen. Dafür lässt er betrunkene Spieler auf einem Jahrmarkt mit seiner "Glücksmünze" werfen. Er ist sich seinem „Glück“ so sicher, dass er den Betrunkenen anbietet ihren Einsatz stets zu verdreifachen, wenn sie Zahl werfen.

Frage: Ist dies trotz der Manipulation ein faires Spiel?

Vorüberlegung:

Zu 1: Hier gilt es den Erwartungswert zu bestimmen. Wie viel gewinnt bzw. verliert ein Spieler pro Spiel im Durchschnitt: Um zu Spielen zahlt man einen Einsatz x, gewinnt zu 25% und verliert dementsprechend zu 75%. Sollte man gewinnen, erhält man den dreifachen Einsatz.

Rechnung:

E(x) = -x ۰ 0,75 + 2x ۰ 0,25

E(x) = -0,75x + 0,5x

E(x) = -0,25x

Auf Dauer verliert man das 0,25-fache seines Einsatzes.

Aufgabe: Ein Jahrmarktbetrüger manipuliert eine Münze, damit er mit dieser zu 75% Kopf wirft. Nun möchte er Geld mit der Münze verdienen. Dafür lässt er betrunkene Spieler auf einem Jahrmarkt mit seiner "Glücksmünze" werfen. Er ist sich seinem „Glück“ so sicher, dass er den Betrunkenen anbietet ihren Einsatz stets zu verdreifachen, wenn sie Zahl werfen.

Frage:  Wie müsste die Auszahlung des Betrügers gewählt werden, damit das Spiel fair ist?

Vorüberlegung:

Hier gilt es nun den Gewinn für einen Erwartungswert von 0 zu bestimmen.

Rechnung:

n stehe für die Vervielfachung des Gewinns:

E(x) = -x ۰ 0,75 + nx ۰ 0,25

0 = -0,75x + 0,25nx

Die Gleichung muss so umgestellt werden, dass wir n berechnen können:

0,75x = 0,25nx

0,75 = 0,25n

n = 3

Man muss das dreifache seines Einsatzes gewinnen. Dies bedeutet, dass die Auszahlung das Vierfache des Einsatzes sein müsste, damit das Spiel des Betrügers fair ist.