Oft wird in Aufgaben nach einer Steig- oder Sinkgeschwindigkeit eines Flugzeugs oder eines Ballons gefragt. Dabei handelt es sich um Fragen nach der Steigung. Hierfür muss die erste Ableitung betrachtet werden. Sollte diese Steigung in eine Richtung extrem werden, also entweder maximal groß oder aber maximal klein, dann ist nach dem Wendepunkt gefragt

Frage: Durch die Funktion wird die Höhe eines Ballons auf seinem Rundflug beschrieben. Hierbei ist f(t) die Höhe des Ballons und t die Zeit nach Abheben in Stunden.

Bestimmen Sie, an welcher Stelle der Ballon am schnellsten an Höhe verliert. Wie groß ist die Sinkgeschwindigkeit an dieser Stelle?

Vorüberlegung: Die Steigung des Ballons wird durch die erste Ableitung beschrieben. Daher kann man mit dieser die Steiggeschwindigkeiten berechnen. An den Stellen, an welchen die Steigung maximal bzw. minimal wird, sitzen die Wendepunkte. So lässt sich die maximale Änderungsrate bestimmen. Ein Links-Rechts-Wendepunkt bedeutet die größte positive Änderung der Steigung, wohingegen ein Rechts-Links-Wendepunkt die größte negative Änderung der Steigung bedeutet.

Rechnung:

Antwort: Die Sinkgeschwindigkeit konnte durch Einsetzten des x-Wertes in die erste Ableitung berechnet werden. Sie ist nach 4,33 Stunden mit -1,2 Meter pro Stunde am höchsten.