Formulierungen, die nach der Fläche unter dem Graphen fragen, verweisen auf die Verwendung eines Integrals. Bei dieser Art von Aufgaben wird meist nach der Gesamtheit einer bestimmten Menge gefragt. Diese Menge kann beispielsweise die Erde in einem Erdhügel oder das Wasser in einem Kraftwerk sein.

Auch könnte nach der Gesamtheit von Personen gefragt werden, wenn der Graph beispielsweise eine Anzahl kranker Personen darstellt.

All diese Formulierungen weisen auf die Berechnung eines Integrals in einem bestimmten Intervall hin und können durch das Anwenden der Formeln gelöst werden.

Bei Integralaufgaben kann es auch vorkommen, dass mit e-Funktionen gerechnet werden soll. Hier gilt es entspannt zu bleiben und die Rechenregeln zu e-Funktionen zu beachten. Eine beliebte Abituraufgabe findest du in Beispiel 2.

Frage: Durch die Funktion f(x) wird der Verlauf eines Grabens beschrieben. Durch die Nullstellen der Funktion wird das Intervall des Grabens eingegrenzt. Eine Längeneinheit entspricht hierbei einem Meter. Bestimmen Sie das Fassungsvermögen des Grabens auf einer Länge von 10 Metern.

Vorüberlegung: Der Graph verläuft unter der x-Achse und schließt mit dieser eine Fläche ein. Diese Fläche kann durch ein Integral im Intervall der Nullstellen bestimmt werden. Anschließend kann das Fassungsvermögen bestimmt werden, indem die Grundfläche mit der angegebene Länge des Grabens von 10 Metern multipliziert wird.

Rechnung:

Frage 1: Forscher haben ein Medikament gegen Langeweile entwickelt. Zum Zeitpunkt t = 0 Stunden werden einmalig 20 mg eines Medikaments direkt in die Blutbahn eines Patienten gespritzt. Die im Blut vorhandene Medikamentenmenge (in mg) kann näherungsweise durch die Exponentialfunktion f(x)=20 ∙ e^-0,05t beschrieben werden. Bestimmen Sie die medizinische Wirkung des Medikaments nach 30 Stunden unter Angabe einer Stammfunktion.

Vorüberlegung:

Der Graph unserer Funktion f(x)= 20*e^-0,05t beschreibt die Wirkung des Medikaments im Körpers zu jedem Zeitpunkt. Dabei nimmt die Wirkung über die Zeit hinweg ab. Wollen wir die Wirkung über einen bestimmten Zeitraum (30 Stunden) berechnen, ist es nötig die Fläche unter dem Graphen im Intervall von 0 bis 30 zu berechnen.

Rechnung:

Frage 2: Berechnen Sie die Zeit, nach der sich nur noch die Hälfte der anfänglichen Medikamentenmenge im Blut des Patienten befindet.

Vorüberlegung: Wie oben bereits erklärt, beschreibt der Graph die Menge eines Medikaments im Körper (y-Achse) in Abhängigkeit von der Zeit (x-Achse).

Ist nach der Halbwertszeit (=Zeitpunkt an dem nur noch die Hälfte der Ausgangsmenge im Blut ist) gefragt, muss die Ausgangsmenge des Medikaments (20mg) lediglich durch 2 geteilt werden und mit der Ausgangsfunktion gleichgesetzt werden.

Rechnung:

20 ۰ e^-0,05t = 10    |:20

e^-0,05t = 0,5    |ln

-0,05t = ln(0,5)    |:(-0,05)

t = 13,86

Antwort: Nach 13,86 Stunden liegt nur noch die Hälfte des Medikaments vor.

Der Graph g(x) beschreibt den Verlauf eines Hügels. Dieser soll nun so abgetragen werden, dass man auf seiner Spitze einen See anlegen kann. Der zukünftige See wird durch die Funktion f(x) beschrieben. Berechnen Sie, wie viel Erde des Berges abgetragen werden muss, bevor ein See angelegt werden kann. Zur Vereinfachung wird das Projekt zweidimensional betrachtet.

Vorüberlegung:

Bei der Aufgabe soll eine Fläche zwischen zwei Graphen berechnet werden. Dazu müssen unter anderem deren Schnittpunkte berechnet werden.

Rechnung: