Eine Prüfung, ob sich zwei Geraden schneiden, wird immer mal wieder abgefragt. Ein praktisches Beispiel wäre, ob sich zwei Flugzeuge, deren Flugbahnen durch zwei Geraden beschrieben werden, treffen. Sollte es einen Schnittpunkt der beiden Geraden geben heißt dies jedoch noch nicht, dass die Flugzeuge kollidieren. Sie könnten ja auch zu unterschiedlichen Zeiten am selben Punkt sein. Hier gilt es also, den Sachverhalt genau zu lesen und keine voreiligen Schlüsse zu ziehen. Hilfreich ist es für alle Lagebeziehungen, die Schemata zu lernen und die Beispielbilder der Lagen vor Augen zu haben.

Aufgabe: Die beiden Geraden f und g beschreiben die Flugbahnen zweier Flugzeuge. Flugzeug 1 startet in Frankfurt und Flugzeug 2 startet in München (t steht für die Anzahl der Stunden, die die Flugzeuge in der Luft sind). Bestimmen Sie, ob die Flugzeuge am selben Punkt vorbei fliegen bzw. ob sie sich dort treffen und es zu einer Kollision kommt.

Vorüberlegung: Um die Aufgabe zu lösen, muss durch Gleichsetzen bestimmt werden, ob die beiden Flugzeuge einen Schnittpunkt besitzen (siehe "Lagebeziehung von Geraden"). Anschließend kann durch Vergleichen der Parameter (t₁ und t₂) bestimmt werden, ob die Flugzeuge zum gleichen Zeitpunkt an diesem Schnittpunkt sind.

Rechnung:

Antwort: Die Gerade haben einen Schnittpunkt bei (1/0/3). Beide Flugzeuge brauchen 2 Stunden, um zu diesem Schnittpunkt zu gelangen. Fliegen sie zum selben Zeitpunkt los, kollidieren sie.

An einem Haus soll ein Wintergarten mit einem Pultdach angebracht werden. Das Dach des Wintergartens wird durch die Ebene EFGH dargestellt (siehe Skizze). Diese Dachebene (EFHG) wird durch die Koordinatenform: E₁: x + 3z = 9 dargestellt. An der Hauswand liegt 6 Meter über dem Punkt E eine Lampe. Die Position der Lampe wird durch L angegeben. Diese Lampe wirft Licht auf den Wintergarten, sodass Teile des angrenzenden Gartens im Schatten liegen.

Frage: Liegt der Baumstamm des Gartens, welcher durch zwei Punkte W₁(8/1/0), W₂(8/3/0) begrenzt wird, im Schatten des Wintergartens?

Vorüberlegung: Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir die Schattenpunkte H´ und G´ auf der x-y-Ebene bestimmen. Hierfür bilden wir die Gerade zwischen L und H (g₁) bzw. L und G (g₂) und ermitteln, wo diese Gerade auf die x-y-Ebene trifft. Anhand der Schattenpunkte kann bestimmt werden, wie weit der Schatten entlang der x-Achse reicht. Dies kann anschließend mit den Koordinaten des Baumstamms vergleichen werden. Dieser liegt bei x = 8.

Rechnung:

Antwort: Der Schatten reicht in x-Richtung lediglich bis 6,4 Meter. Der Baumstamm liegt jedoch bei 8 Metern und ist somit nicht von dem Schatten bedeckt.