Eine Prüfung der Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene wird oft zum Ende einer Aufgabe gestellt.

Das häufigste praktische Beispiel ist eine Aufgabe mit einem Schattenpunkt. Ein Schattenpunkt entsteht, wenn Sonnenstrahlen (verdeutlicht durch den Sonnenstrahlvektor) auf einen Gegenstand (zum Beispiel ein Haus) fallen und dadurch einen Schatten auf eine Ebene werfen.

Um einen Schattenpunkt zu bestimmen, muss eine Gerade (bestehend aus dem Sonnenstrahlvektor als Richtungsvektor und einem Punkt des Gegenstandes als Stützvektor) gebildet werden. Mithilfe dieser Geraden und der Ebene, auf die der Schatten treffen soll, kann ein Schnittpunkt berechnet werden (siehe "Lagebeziehung Ebene und Gerade").

Auch hier bietet es sich an, die Ebene vorher, falls sie nicht sowieso schon in der Koordinatenform vorliegt, in diese umzustellen.

Aufgabe: Die in der Zeichnung angegebenen Punkte beschreiben das skizzierte Haus. Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter. Auf Punkt I des Hauses steht eine Antenne, welche 30 cm hoch ist. Nachmittags um 16 Uhr strahlt die Sonne im Vektor v auf das Haus und die Antenne.

Wo landet der Schatten der Antennenspitze im Garten?

Vorüberlegung: Die Spitze der Antenne sitzt 30 cm höher als der Punkt I. Daher muss die z-Koordinate des Punkts I um 0,3 erhöht werden, um den Punkt S der Spitze zu erhalten.

Anschließend kann aus dem Punkt S und dem Vektor v eine Gerade gebildet und der Schnittpunkt dieser mit der x-y-Ebene gesucht werden. Diese gleicht dem Erdboden bzw. dem Boden des Gartens und liefert uns somit jenen Punkt, an dem der Schatten landet.

Die x-y-Ebene besitzt die Ebenengleichung z=0, da jedes z auf der Ebene den Wert null annimmt.

Rechnung:

Aufgabe: Ein 90 m hoher Berg wird durch die Ebenengleichung E dargestellt. Die beiden Geraden g1 und g2 beschreiben den Verlauf von den Flugbahnen zweier Flugzeuge. Eine Einheit entspricht einem Meter.

Bestimmen Sie, ob die Flugzeuge über den Berg fliegen oder mit diesem kollidieren.

Vorüberlegung: Bei dieser Aufgabe sollen die Schnittpunkte der Grade beider Flugbahn mit der Ebene des Berges gleichgesetzt werden.

Rechnung:

Antwort:

Entscheidend sind für diese Aufgabe die z-Koordinate des Schnittpunktes. Bei dem ersten Flugzeug schneiden sich Gerade und Ebene bei z=8,96. Das Flugzeug kollidiert dementsprechend mit dem 90 m hohen Berg.

Das zweite Flugzeug schneidet die Ebene des Berges bei z=142,65, fliegt also über diesen hinweg.