Die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) gibt die Steigung des Graphen von f(x) an der Stelle x an. Die Anzahl der Apostrophe (') gibt den Grad der Ableitung an. Demnach gibt f''(x) die Steigung des Graphen von f'(x) an.
Im Folgenden werden einige Regeln zum Ableiten von Funktionen vorgestellt (Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel).
Die Potenzregel wird angewandt, um die Ableitung von Potenzfunktionen f(x) = xa zu berechnen. Hierbei muss die Bedingung a ≠ 0 erfüllt sein.
Potenzregel: f(x) = xa → f'(x) = a ∙ x(a–1)
Beispiel:
f(x) = x2
f'(x) = 2x
Wird eine Funktion u(x) mit einem Faktor c multipliziert, bleibt dieser beim Ableiten unverändert.
Faktorregel: f(x) = c · u(x) → f'(x) = c · u'(x)
Beispiel:
f(x) = 3 · (x2 + x)
f'(x) = 3 · (2x + 1) = 6x + 3
Beim Ableiten von Summanden f(x) = u(x) + v(x) werden diese jeweils einzeln abgeleitet.
Summenregel: f(x) = u(x) + v(x) → f'(x) = u'(x) + v'(x)
Beispiel:
f(x) = x2 + x
f'(x) = 2x + 1
Die Produktregel findet immer dann Anwendung, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden f(x) = u(x) · v(x). Diese Funktionen können als u(x), v(x), w(x) usw. bezeichnet werden. Beim Ableiten werden die beiden Funktionen zuerst einzeln abgeleitet und anschließend in die folgende Formel eingesetzt:
Produktregel mit zwei Funktionen: f(x) = u(x) · v(x) → f'(x) = u(x) · v'(x) + v(x) · u'(x)
Bei der Produktregel können auch drei Funktionen miteinander multipliziert werden f(x) = u(x) · v(x) · w(x). Die entsprechende Ableitung sieht folgendermaßen aus:
Produktregel mit drei Funktionen:
f(x) = u(x) · v(x) · w(x) → f'(x) = u'(x) · v(x) · w(x) + u(x) · v'(x) · w(x) + u(x) · v(x) · w'(x)
Beispiel 1:
f(x) = x4 · 2x → u(x) = x4 ; u'(x) = 4x3 ; v(x) = 2x ; v'(x) = 2
f'(x) = x4 · 2 + 4x3 · 2x
f'(x) = 2x4 + 8x4
f'(x) = 10 x4
Beispiel 2:
f(x) = x3 · sin(x) → u(x) = x3 ; u'(x) = 3x2; v(x) = sin(x) ; v'(x) = cos(x)
f'(x) = x3 · cos(x) + 3x2 · sin(x)
Eine Verkettung zweier Funktionen liegt vor, wenn eine Funktion v(x) in eine andere Funktion u(x) eingesetzt wird. f(x) = (u°v)(x) = u(v(x) ist demnach die Verkettung von u und v, welche auch durch das Symbol ° dargestellt werden kann. Es gilt äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Kettenregel: f(x) = u · (v(x)) → f'(x) = u' · (v(x)) · v'(x)
Beispiel:
f(x) = (x2 + 1)3 → v = x2 + 1 ; v' = 2x; u = ( )3 ; u' = 3 · ( )2
f'(x) = 3 · (x2 + 1)2 · 2x
f'(x) = 6x · (x2 + 1)2
Wenn eine Funktion durch eine weitere dividiert wird (f(x) = u(x)/v(x)), kann die Quotientenregel angewandt werden:
Quotientenregel:
Beispiel: