Extrempunkte sind die Punkte im Graph, an denen der Funktionswert maximal (Hochpunkte) oder minimal (Tiefpunkte) wird. Um diese nachzuweisen, werden zwei Bedingungen geprüfen und anschließend die genaue Koordinate berechnet:
Die Formeln noch einmal im Überblick:
Beispiel:
Frage: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x3 – 3x 2– x + 3 auf ihre Extrempunkte.
Rechnung:
Ableitungen:
f(x) = x3 – 3x2 – x + 3
f'(x) = 3x2 – 6x2 – 1
f''(x) = 6x – 6
f'''(x) = 6
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
0 = 3x2 – 6x2– 1 |:3
0 = x2 – 2x2 – 1/3
→ p-q-Formel: x1= 2,15; x2= (-0,15)
Hinreichenden Bedingung: f ''(x) ≠ 0
f''(2,15) = 6,9 → 6,9 > 0 → TP
f''(-0,15) = -6,9 → -6,9 < 0 → HP
Y-Koordinate errechnen: f(x) = y
f(2,15) = -3,08 → TP(2,15/-3,08)
f(-0,15) = 3,08 → HP(-0,15/3,08)