Die Kombinatorik erlaubt es uns, auf relativ einfache Weise eine Anzahl von Möglichkeiten zu berechnen. Bei den meisten Aufgaben kann die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe des Urnenmodells berechnet werden. Hierbei ist n die Anzahl der Kugeln, die aus einer Urne entnommen werden, und k die Anzahl der Ziehungen.
Fakultät: Fakultät wird eine Rechnung genannt, bei der alle ganzen Zahlen ausgehend von 1 bis zu der Zahl, hinter welcher das „!“ steht, miteinander multipliziert werden.
n! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ... · 2 · 1
5!= 5· 4 · 3 · 2 · 1Binomialkoeffizient:
Der Binominalkoeffizient ist ein kürzerer Ausdruck für die danebenstehende Rechnung. Man spricht „n über k“.
Es gibt in diesem Urnenmodell vier Fälle, die zu unterscheiden sind. Zu jedem Fall lässt sich eine Formel angeben, mit der man die gesuchte Anzahl der Möglichkeiten berechnen kann.
Die vier Fälle der Kombinatorik ergeben sich daraus, dass man sich beim Ziehen aus einer Urne zwei Fragen stellen kann:
Wird die gezogene Kugel nach dem Ziehen wieder in die Urne zurückgelegt oder bleibt sie außerhalb der Urne?
Ist die Reihenfolgen der gezogenen Kugel von Bedeutung oder nicht?
Alle Kombinatorikaufgaben können mit dem unten abgebildeten Algorithmus gelöst werden. Entscheidend ist es hierbei, zu Beginn der Aufgabe den zutreffenden Fall zu bestimmen.
Definition: Der erste Fall, den wir betrachten, ist ein Spiel mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
Aufgabe:
Als Beispiel hierfür kommt unter anderem ein Tippschein in Frage. Dieser Tippschein enthält alle neun Spiele eines Bundesligaspieltages. Angenommen du tippst diesen Spieltag, dann gibt es pro Spiel drei Möglichkeiten einen Tipp abzugeben:
Vorüberlegung:
Stellt man sich diesen Sachverhalt im Urnenmodell vor, sind in dieser Urne drei Kugeln (n), die mit 1,2 oder 3 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird neun mal gezogen (k) und nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Die Reihenfolge der gezogenen Kugeln ist für die Anzahl der Tippreihen relevant, denn man zieht zunächst den Tipp für das erste Spiel, dann den Tipp für das zweite Spiel und so weiter.
Rechnung:
Aus der Aufgabenstellung lässt sich ableiten, dass drei mögliche Ereignisse existieren (n=3), die neun Mal nacheinander eintreten können (k=9) .
Die Anzahl der möglichen Tippreihen beträgt daher:
nk = 39 = 19683
Definition: Bei diesem Fall handelt es sich um ein Experiment mit Zurücklegen ohne Beachten der Reihenfolge. Für diesen Fall gibt es wenig praktische Beispiele, weshalb es bisher noch nicht im Abitur behandelt wurde.
Definition: Der dritte Fall, den wir betrachten, ist ein Experiment ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
Aufgabe:
An einem 10 km Lauf nehmen zehn Läufer teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit diesen zehn Läufern das Podium zu besetzen?
Vorüberlegung:
Angenommen wir haben zehn Läufer, die an diesem Lauf teilnehmen, dann können wir uns diese als zehn Kugeln in einer Urne mit den Zahlen 1-10 vorstellen (n=10). Jede dieser Zahlen steht für einen anderen Läufer. Nun sollen die Plätze 1-3, also das Podium, mit drei der zehn Läufer besetzt werden (k=3). Wir ziehen also drei Kugeln, wobei die erste Kugel auf die 1. Position kommt, die zweite Kugel auf die 2. Position und die dritte Kugel auf die 3. Position gesetzt wird.
Rechnung:
Aus der Vorüberlegung ergibt sich:
Definition: Bei diesen Rechenaufgaben werden die Kugeln nicht zurückgelegt und es gibt keine Reihenfolge zu beachten.
Aufgabe:
Das Paradebeispiel für ein Ereignis ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ist das LottoSpielen.
Vorüberlegung:
Beim Lottospielen werden aus 49 Kugeln (n=49) sechs Kugeln gezogen (k=6) und nicht wieder zurückgelegt.
Außerdem ist die Reihenfolge bei der Ziehung egal, da die Kugeln im Nachhinein ohnehin nach der Größe ihrer Zahl sortiert werden. Nun stellt sich also die Frage, wie viele verschiedene Möglichkeiten es beim Ziehen von 6 aus 49 Kugeln gibt. Bei dieser Fragestellung spielt die Superzahl keine Rolle.
Sonderfall: Die Wahrscheinlichkeit für 4 „Richtige“
Vorüberlegung:
Stellen wir uns nun vor, wir spielen das Spiel „6 aus 49“ und möchten vier richtige Zahlen tippen.
Man tippt also vier der sechs richtigen Zahlen, aber auch zwei der 43 übrigen falschen Zahlen. Möchte man nun Wahrscheinlichkeiten berechnen, muss man daran denken, die Anzahl der günstigen Ergebnisse wieder ins Verhältnis zu der Anzahl aller Ergebnisse zu setzen.
Die Kombinatorik kommt nicht oft in Abiturvorschlägen dran. Jedoch sind ihre Rechenregeln öfters hilfreich, wenn man Wahrscheinlichkeiten aus einem Text herausarbeiten muss. Daher ist es sinnvoll, alle vier Fälle der Kombinatorik zu kennen.
Zur Erinnerung: Die Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus der Anzahl der günstigen Möglichkeiten geteilt durch die Anzahl der gesamten Möglichkeiten.