Im Folgenden soll es um die Unabhängigkeit von Ereignissen gehen. Ereignisse sind dann unabhängig voneinander, wenn sich die Wahrscheinlichkeit des einen nicht verändert, auch wenn das andere bereits eingetreten ist.
Nachweis der Unabhängigkeit:
Zwei Ereignisse A und B gelten als unabhängig voneinander, wenn für sie folgende Gleichungen gelten:
PB(A) = P(A)
PA(B) = P(B)
P(A⋂B) = P(A)⋂P(B)
Die ersten beiden Gleichungen bedeuten, dass es für die Wahrscheinlichkeit von A nicht relevant ist, ob B sich vorher ereignet hat und auch B im umgekehrten Sinne in seiner Wahrscheinlichkeit vom Eintritt bzw. Nichteintritt von A unabhängig ist.
Die dritte Gleichung bedeutet, dass die Pfadwahrscheinlichkeit das Produkt der beiden totalen Wahrscheinlichkeiten ist. Wenn man weiß, dass zwei Ereignisse voneinander unabhängig sind, kann man also die Wahrscheinlichkeit des Pfades ohne eine bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen.
Beispiel 1:
Stellen wir uns erneut einen fairen Würfel mit sechs Seiten vor, von der jede mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden kann. Dieser Würfel wird nun zweimal geworfen.
Ereignisse:
Überlegung:
Wenn wir uns dieses Beispiel ansehen, dann wird deutlich, dass bei einem Eintreten von E1 ein Eintreten von E2 deutlich unwahrscheinlicher wird.
Die beiden Ereignisse sind also abhängig voneinander.
Beispiel 2:
Betrachtet werden soll der Wurf eines fairen Würfels. Dieser wird zweimal geworfen und auf die beiden Ereignisse A und B untersucht.
Ereignisse:
Sind die beiden Ereignisse unabhängig voneinander?
Vorüberlegung:
Wenn die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, dann müssten die drei oben aufgeführten Bedingungen erfüllt sein.
Rechnung:
Aus dem Baumdiagramm kann entnommen werden:
Lösung: Die Ereignisse sind unabhängig voneinander.