Um die Nullstellen zu bestimmen, wird die Funktion gleich 0 gesetzt, um die zugehörigen x-Werte zu bestimmen: f(x) = 0
Die Ermittlung der x-Werte kann nach dem Nullsetzen auf verschiedenen Wegen stattfinden und ist auch auf die Berechnung von Extrem- und Wendestellen übertragbar. Grob lässt sich die Vorgehensweise in fünf unterschiedliche Fälle unterteilen.
Sollte eine Gleichung nur aus einem x-Term und einer Zahl bestehen, stellt man nach x um und teilt beide Teile durch den Vorfaktor von x. Sollte x noch einen Exponenten besitzen wird anschließend die Wurzel gezogen (bei x2 die Quadratwurzel, bei x3 die 3te Wurzel usw.).
Beispiel:
0 = 8x + 16 |–16
x = -16 |:8
x = -2
Sollte die Funktion aus einem x2-Term, einem x-Term und einer Zahl bestehen, dann benutzt man für die Berechnung der Nullstellen die p-q-Formel. Hierbei ist zu beachten, dass der Faktor vor dem x2-Term den Wert 1 haben muss. Man teilt also erst die gesamte Gleichung durch den Faktor vor dem x2 falls dieser ungleich 1 ist. Anschließend setzt man p (= der Faktor vor x) und q (= die Zahl am Ende) in die p-q-Formel ein. Für das Ergebnis gibt es drei Möglichkeiten:
Beispiel:
Bei einer Funktion dritten Grades (Funktion mit x3, x2, x und c) wird eine Polynomdivision durchgeführt. Hierfür muss eine Nullstelle erraten werden. Dies geschieht durch Einsetzen verschiedener Zahlen wie -2, -1, 0, 1 und 2 in die Ausgangsfunktion.
Nun wird die Ausgangsfunktion durch die erratene Nullstelle dividiert. Beachte dabei, dass bei einer Nullstelle wie +2 eine Polynomdivision mit (x-2) durchgeführt wird. Analog dazu wird für die Nullstelle -2 mit (x+2) dividiert. Das Ergebnis der Polynomdivision ist eine quadratische Gleichung, die mithilfe der p-q- Formel gelöst werden.
Beispiel:
Besteht die Funktion nur aus einem x4- und x2-Term und einer konstanten Zahl c, wird das Substitutionsverfahren angewandt.
Hierfür wird x2 durch z ersetzt. Demnach gilt x2 = z und x4 = z2. Daraus ergibt sich eine quadratische Funktion, welche mit der p-q-Formel gelöst wird. Danach darf nicht vergessen werden, dass dies die Lösungen für z sind. Da jedoch x gesucht ist, müssen mittels x2 = z noch alle Ergebnisse für x gefunden werden.
Beispiel:
0= 4x4 – 26x2 + 6,25 | z = x²
0= 4z2 - 26z + 6,25 |: 4
0 = z² - 6,5z + 1,5625
Sollte die Funktion keine Konstante c, sondern nur x-Terme enthalten, kann zunächst klammert der kleinsten x-Term ausgeklammert werden. Dann findet die Regel "Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird" Anwendung. Dadurch kann man das ausgeklammerte x und den Term in der Klammer 0 setzen. Das ausgeklammerte x liefert immer die erste Nullstellen x1=0. Für die nächsten Nullstellen kann dann einer der ersten Fälle angewendet werden.
Beispiel:
0= x3 – 4x2 + 3x
0 = x · (x3 – 4x2 + 3x)
x1=0
x2/3: 0 = x2 – 4x + 3
→ p-q-Formel: x2=1, x3=3