Rekonstruktion einer Funktion
Manchmal wird in der Aufgabenstellung nicht die Funktion direkt gegeben, sondern Punkte oder Informationen einer Funktion, mithilfe derer die Funktion dann rekonstruiert werden soll.
Um möglichst leicht eine Funktion rekonstruieren zu rekonstruieren, gibt es folgende Schritte:
- Allgemeine Funktionsgleichung der gesuchten Art aufstellen (ganzrationale Funktion x-ten Grades, e-Funktion etc.).
- Gegebenen Informationen wie Nullstellen, Extrema oder Wendepunkte zu Bedingungen umschreiben.
- Die in Schritt 2 herausgeschriebenen Bedingungen zum Aufstellen von Gleichungen nutzen. Hierfür muss die allgemeine Funktionsgleichung eventuell abgeleitet werden.
- Aus den Gleichungen kann ein Gleichungssystem aufgestellt werden. Dieses kann anschließend nach den Parametern aufgelöst werden.
- Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen.
Formulierungshilfen
Auch bei diesen Aufgaben gibt es Formulierungshilfen, die dir das Aufstellen der Gleichungen erleichtern können:
- Sollte ein Punkt P(x/y) gegeben sein, kann man x und y in die allgemeine Gleichung einsetzen. Wendepunkte und Extrempunkte sind auch allgemein Punkte, die in normale Funktion f(x) eingesetzt werden können: → f(x) = y
- Wenn von Extrempunkten geredet wird, dann weißt du, dass für die x-Koordinate der Extrema die notwendige Bedingung der Extrema gilt: → f´(x) = 0
- Für Wendepunkte gilt auch die notwendige Bedingung: → f''(x) = 0
- Sollte von Tangenten die Rede sein, muss man beachten, dass die Tangente und die Funktion an der Kontaktstelle x den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung besitzen (siehe Beispiel): → f(x) = t(x) und f´(x) = t`(x)
- Hinweise auf die Symmetrie ermöglichen in der Grundfunktion eine Kürzung bestimmter Exponenten. Bei ganzrationalen, punktsymmetrischen Funktionen gibt es keine geraden Exponenten, während bei ganzrationalen, achsensymmetrischen Funktionen keine ungeraden Exponenten vorhanden sind.
- Wenn eine Funktion „ohne Knick“ in eine andere Funktion übergeht, bedeutet dies, dass beide an dieser Stelle die gleiche Steigung besitzen.
Beispiel 1: Rekonstruieren ganzrationaler Funktionen
Frage: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Wie sieht eine Funktion aus, die die unten stehenden Kriterien erfüllt?
- Allgemeine Funktionsgleichung:
f(x)=ax3 + bx2 + cx + d
- Informationen herausschreiben:
Die Funktion:- verläuft durch den Ursprung bei P (0/0) → f(0) = 0
- hat eine Wendetangente bei P (1/-2) → f(1) = -2
- hat einen Wendepunkt bei x=1 → f''(1) = 0
- hat bei der Wendetangente eine Steigung von 2 → f'(1) = 2
- Ableiten und Einsetzen der Informationen:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
I f(0) = 0
0 = a · 03 + b · 02 + c · 01+ d
0 = d
II f(1) = - 2
-2 = a · 13 + b · 12 + c · 11 + 0 → - 2 = a + b + c
III f‘‘(1) = 0
0 = 6a · 1 + 2b → 0 = 6a + 2b
IV f‘(1) = 2
2 = 3a · 12+ 2b · 1 + c → 2 = 3a + 2b
- Auflösen des Gleichungssystems:
II -2 = a + b + c
III 0 = 6a + 2b → nach b auflösen: b = -3a
IV 2 = 3a + 2b
II - IV: -4 = -2a – (-3a) → -4=a
a in III einsetzten: b = -3۰(-4) → b=12
a und b in II einsetzten: -2 = -4 + 12 + c → c = -10
- Alle Variabeln in die Ursprungsgleichung einsetzten:
f(x)=-4x3 + 12x2 – 10
Beispiel 2: Rekonstruieren einer e-Funktionen
Frage: Gegeben sind die Punkte P1 und P. Rekonstruieren Sie eine e-Funktion aus diesen Punkten.
Antwort: