Tangente und Orthogonale
Tangente
Das Wort Tangente leitet sich von dem lateinischen Wort "tangere" ab, welches "berühren" bedeutet. Eine Tangente ist demnach eine Gerade, die den Graphen einer Funktion an einer Stelle x0 berührt, aber nicht schneidet.
Für die Tangente gilt t(x) = mx + c.
m steht für die
Steigung,
c für den
Schnittpunkt mit der y-Achse.
Für den Berührungspunkt P(x0/y0) zwischen Tangente und Graph gilt:
- Die Steigungen sind gleich groß: f'(x0) = t'(x0) = m
- Der Graph und die Tangente teilen an diesem Punkt die gleichen Koordinaten: f(x0) = t(x0)
Aufstellen einer Tangente:
Sucht man also eine Tangente einer Funktion f(x) an einer beliebigen Stelle x0, muss man dabei folgendermaßen vorgehen:
- Schreibe die Funktionsgleichung der Funktion f(x) sowie Kontaktstelle x0 heraus.
- Stelle die erste Ableitung von f(x) auf und setzen setze x0 ein. Das Ergebnis ist die Steigung m der Tangente.
- Anschließend bestimmen wir die genaue Koordinate des gemeinsamen Punktes von Tangente und Funktion durch Berechnen des y-Wertes. Hierfür wird der x-Wert in die Funktion f(x) eingesetzt
- Abschließend kann man x, y und die Steigung m in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und so b bestimmen.
Beispiel:
- Sammeln aller nötigen Informationen:
f(x) = 0,5x³ – 2x → x0 = 1
- Bilden der ersten Ableitung und Einsetzen von x0:
f‘(x) = 1,5x² – 2
f‘(1) = 1,5 · 1² – 2
f‘(1) = 0,5 → m = 0,5
- y-Wert berechnen:
f(1) = 0,5 · 1³ – 2 · 1
f(1) = - 1,5 → P (1 / -1,5)
- b bestimmen:
P (1 / -1,5) in t(x) einsetzen: t(1) = -1,5
-1,5 = -0,5 · 1 + b
b = -1
t(x) = -0,5x – 1
Orthogonale
Der Begriff Orthogonale leitet von den griechischen Wörtern ''orthos'' (richtig, recht) und ''gonia'' (Ecke, Winkel) ab und bedeutet rechtwinkelig bzw. senkrecht. Eine Orthogonale steht senkrecht zu der Tangente. Sie teilt sich denselben Punkt wie Graph und Tangente, weist jedoch eine andere Steigung als diese beiden auf.
Aufstellen einer Orthogonalen:
- Um die Steigung der Orthogonalen zu berechnen, kann folgende Formel verwendet werden: mn = - 1/mt ® →mn = Steigung der Orthogonalen und mt = Steigung der Tangente → Die Steigung der Orthogonalen entspricht dem negativen Kehrwert der Steigung der Tangente.
- Mit der Steigung sowie dem Punkt P der Orthogonalen kann – ähnlich wie bei der Tangente – der Parameter c ausgerechnet und die allgemeinen Geradengleichung n(x)= mx + c aufgestellt werden.
Beispiel:
Tangente: t(x) = -0,5x – 1 → mt = -0,5; P (1 / -1,5)
Orthogonale: n = mx + b
mn = (-1/mt) → mn = 2
P in n(x) einsetzen:
- 1,5 = 2 · 1 + b
b = - 3,5
n(x) = 2 – 3,5
Tangente und Orthogonale
Tangente und Orthogonale: Dargestellt sind die Tangente und Orthogonale der Funktion f(x) = 0,5x³ – 2x
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