Das „Ermitteln einer Stammfunktion durch Koeffizientenvergleich“ klingt zunächst kompliziert, ist aber deutlich einfacher als du vielleicht denkst. Das Vorgehen erklären wir im Folgenden und zeigen es anhand eines Beispiels:
Bei dieser Art von Aufgaben sind häufig die Ausgangsfunktion f(x) und eine mit Parametern versehene Stammfunktion F(x) gegeben. Ziel ist es dabei die Parameter von F(x) zu ermitteln. Dies gelingt durch einen Vergleich der Vorfaktoren.
Die Vorfaktoren lassen sich bestimmen, indem man sich an folgendes Schema hält:
Beispiel:
Gegeben seien die Funktionen F(x) und f(x).
Bestimmen Sie mit Hilfe eines Termvergleichs a und b.
F(x) = ae2x + be-x; f(x) = e2x + e-x
1. + 2. Ableiten und Vereinfachen der Stammfunktion:
F‘(x) = 2ae2x + (-b)۰e-x
3. Gleichsetzen der Vorfaktoren:
1 = 2a
a = 0,5
1 = - b
b = - 1
4. Ergebnis prüfen:
a und b in F‘(x)
2۰0,5 e2x + (- (- 1))۰e-x = e2x + e-x = f(x)