Normalenvektor
Der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht. Bildet man den Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren einer Ebene steht, so steht dieser auch senkrecht zur Ebene und zu jedem Punkt der Ebene.
Jener Normalenvektor wird für viele weitere Rechnungen, wie beispielsweise zum Bestimmen der Lagebeziehung benutzt.
Rechenweg: Der Normalenvektor kann auf zwei verschiedene Arten aufgestellt werden:
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Die erste Art einen Normalenvektor aufzustellen, ist das sogenannte Kreuzprodukt. Hierfür werden ebenfalls beide Richtungsvektoren der Ebene benötigt.
Am leichtesten ist diese Rechnung anhand der nachfolgenden Graphik zu verstehen:
In Worten wäre die Vorgehensweise so zu beschreiben:
- Zuerst schreibt man die Richtungsvektoren der Ebene nebeneinander und schreibt eine neue vierte Zeile hinzu. In diese vierte Zeile werden die Koordinaten der ersten Zeile noch einmal aufgeschrieben.
- Nun wendet man die Kreuzformel an, indem man immer von links ausgehend einen Wert notiert, um diesen Wert anschließend mit der Koordinate zu multiplizieren, die rechts eine Zeile tiefer steht. Von diesem Produkt wird anschließend noch ein Produkt abgezogen. Dieses zweite Produkt entsteht ähnlich wie das erste Produkt, nur dass man links einer Zeile tiefer beginnt und diesen Wert mit dem Wert rechts eine Zeile höher multipliziert. Aufpassen muss man nun, da das erste Kreuz, also die erste Substraktion, die z-Koordinate ergibt, das zweite die x- und das dritte die y-Koordinate. Dies klingt zwar kompliziert, man muss sich aber eigentlich nur merken, dass man links anfängt und dann ein Kreuz bildet. Dabei multipliziert man immer die beiden Zahlen die den "Hinweg" bilden und subtrahiert hiervon dann die Zahlen des "Rückwegs", welche auch miteinander multipliziert werden.
Normalenvektor über ein Gleichungssystem
Neben diesem Verfahren gibt es auch die Möglichkeit den Normalenvektor über ein Gleichungssystem aufzustellen. Dieses ist jedoch eher umständlich und wird daher nur zur Einleitung in das Thema von den Lehrern verwendet. Verinnerlicht durch Üben das Kreuzprodukt und ihr spart euch hier in Zukunft eine Menge Zeit.