Lagebeziehung Ebene und Gerade
Ähnlich wie zwei Geraden können auch eine Ebene und eine Gerade ein bestimmtes Lageverhältnis einnehmen. Dieser Aufgabentyp kann ebenfalls sehr gut mit einem Algorithmus gelöst werden.
Lagebeziehungen:
Es gibt drei verschiedene Arten, wie eine Gerade zu einer Ebene liegen kann:
- Die Gerade liegt parallel zur Ebene, aber nicht in ihr. Dies bedeutet, dass es keinen gemeinsamen Schnittpunkt gibt.
- Die Gerade liegt parallel zur Ebene und in ihr. Es sind also alle Punkte der Geraden in der Ebene enthalten.
- Die Gerade schneidet die Ebene an einem Punkt. Dieser Punkt wird Durchstoßpunkt von Ebene und Gerade genannt.
Wie bestimmt man welcher der Fälle vorliegt?
Gegeben sind die Ebenengleichung und Geradengleichung. Zuerst setzt man Zeile für Zeile die Geradengleichung in die Koordinaten der Ebenengleichung ein. Die Ebenengleichung sollte dazu in der Koordinatenform vorliegen. Diese kann aus der Normalform gebildet werden. Anschließend wird für die x-Koordinate der Normalform die erste Zeile der Geradengleichung eingesetzt, für die y-Koordinate die zweite Zeile und für die z-Koordinate die letzte Zeile. Dadurch erhält man eine Gleichung mit einer Variablen. Diese ist der Parameter der Geraden.
Wird die Gleichung nach der Variablen umgestellt, sind drei verschiedene Lösungen möglich, welche sich den Lagebeziehungen zuordnen lassen:
- Fällt der Geradenparameter weg und wir erhalten eine falsche Aussage, dann gibt es keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Die Gerade liegt echt parallel zur Ebene.
- Fällt der Geradenparameter weg und wir erhalten eine wahre Aussage, dann liegen alle Punkte der Geraden in der Ebene. Sie ist in der Ebene enthalten.
- Erhalten wir einen Wert für den Parameter, so haben wir einen Durchstoßpunkt. Um diesen zu bestimmen setzen wir den berechneten Wert in die Geradengleichung ein.
Algorithmus zum Lösen der Lagebeziehung von Ebene und Gerade
Algorithmus zum Lösen der Lagebeziehung von Ebene und Gerade: Zwei Geraden können in in verschiedenen Lagebeziehungen zueinander stehen: Gerade und Ebene haben einen Schnittpunkt, die Gerade liegt in der Ebene und die Gerade ist parallel zur Ebene
Abiklinik
Fall 1: Gerade ist parallel zur Ebene
Frage: Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g. Bestimmen Sie das Lageverhältnis der beiden zueinander.
Rechnung:
Fall 2: Gerade ist identisch zur Ebene
Frage: Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g. Bestimmen Sie das Lageverhältnis der beiden zueinander.
Rechnung:
Fall 3: Schnittpunkt vorhanden
Frage: Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g. Bestimmen Sie das Lageverhältnis der beiden zueinander.
Rechnung: