Bei Hypothesentests gibt es zwei verschiedene Fragestellungen:
Mithilfe des folgenden Schemas kannst du den gesuchten Aufgabentyp ermitteln und den Hypothesentest lösen:
Bei einseitigen Signifikanztests weicht die Wahrscheinlichkeit von H1 in eine Richtung von H0 ab. Sie kann entweder höher oder niedriger sein.
Die Besonderheit eines zweiseitigen Signifikanztestes liegt darin, dass man nicht voraussagen kann, ob sich die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit erhöht oder erniedrigt. Sie kann sich in beide Richtungen verändern, weshalb die Irrtumswahrscheinlichkeiten für Fehler in beide Richtungen berechnet und anschließend addiert werden müssen.
Die Fehlerwahrscheinlichkeiten für α- oder β-Fehler sind gesucht. Dies setzt voraus, dass sich die Entscheidungsregel dem Text entnehmen lässt. Ist die Entscheidungsregel k, sowie die Wahrscheinlichkeit p und die Anzahl der Durchführungen n gegeben, kann die Fehlerwahrscheinlichkeit, wie auch bei Bernoulli, aus der Tabelle abgelesen werden. Als vertiefte Erklärung, wie genau du vorgehen musst, kannst du dir die Beispiele auf den folgenden Seiten anschauen.
Die Entscheidungsregel ist gesucht und die Fehlerwahrscheinlichkeit für den α- und/oder β-Fehler ist gegeben. Bei diesem Aufgabentyp geht es um das Festlegen eines geeigneten Wertes für die kritische Zahl k. Dieser sorgt dafür, dass die festgelegte Fehlerwahrscheinlichkeit für α oder β nicht überschritten wird. Bei einem einseitigen Signifikanztest ist die Wahrscheinlichkeit von p1 kleiner oder größer als die Wahrscheinlichkeit von p0.
Aufgabe:
Forscher haben ein Medikament gegen langweilige Unterrichtsstunden entwickelt. Ein bereits auf dem Markt befindliches Medikament, dass ähnlich geringe Nebenwirkungen aufweist, wirkt mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%.
Die Forscher gehen nach ersten Versuchen davon aus, dass ihr neues Medikament bei noch mehr Personen Wirkung zeigt. Um dies zu beweisen, wurde eine Studie mit 50 Personen durchgeführt, die feststellen soll, ob sich die Vermutung der Forscher bewahrheitet.
Die Forscher legen fest, dass, wenn das Medikament bei mehr als 30 Personen Wirkung zeigt, von einer Verbesserung ausgegangen werden kann.
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dem Medikament zwar eine bessere Wirkung zuspricht, diese in Wahrheit aber nicht vorliegt?
Vorüberlegung:
Durch die Aufgabenstellung sind n (Anzahl aller Personen), die Entscheidungsregel (wenn das Medikament bei mehr als 30 Personen wirkt, wird von einer Verbesserung ausgegangen) und die Wahrscheinlichkeiten (p0=0,5; p1>0,5) vorgegeben.
Um den gesuchten α-Fehler zu bestimmen, muss man die Entscheidungsregel für H1 und die Wahrscheinlichkeit p0 in die Formel einsetzen.
Rechnung:
n = 50 x = Personen bei denen das Medikament wirkt
H0: Medikament wirkt nicht besser → x ≤ 30
H1: Medikament wirkt besser → x > 30
α-Fehler:
PH0(H1) = P(x > 30) = 1 – P(x ≤ 30) = 1 – F (50;0,5;30)
PH0(H1) = 0,0595
Aufgabe:
Die Forscher aus der vorherigen Aufgabe möchten in der gleichen Studie mit 50 Personen feststellen, ob ihr Medikament besser wirkt als das sich bereits auf dem Markt befindliche.
Sie gehen davon aus, ein besseres Medikament hergestellt zu haben, wenn es bei mehr als k Personen wirkt. Um ganz sicher zu gehen, legen sie fest, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit nicht größer als 1% sein darf.
Frage: Bei wie vielen Probanden muss das Medikament wirken, damit es mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit geringer als 1% freigegeben werden kann?
Vorüberlegung:
Durch die Aufgabenstellung sind n (Anzahl der Personen), die Fehlerwahrscheinlichkeit für den α-Fehler (1%) und die Wahrscheinlichkeiten (p0=0,5; p1>0,5) vorgegeben. Um die gesuchte Entscheidungsregel zu bestimmen, muss man die Fehlerwahrscheinlichkeit für den α-Fehler mit der Formel aus der letzten Aufgabe gleichsetzen und k aus der Tabelle ablesen.
n = 50 x = Personen, bei denen das Medikament wirkt
H0: Medikament ist nicht besser → x ≤ k; p0=0,5
H1: Medikament ist besser → x > k; p0> 0,5
PH0(H1) = P(x > k) = 1 – P(x ≤ k)
1 – P(x ≤ k) ≤ 0,01 |–1-P(x ≤ k) ≤ -0,99 |۰(-1)
F(50; 0,5; k) ≥ 0,99
k = 33
Aufgabe:
Bei einer Münze soll getestet werden, ob sie wirklich fair ist. Sie wird hierzu 100mal geworfen. Gezählt werden die Anzahl der Kopfwürfe, die bei diesen 100 Würfen fallen. Sollte diese nicht um mehr als 10 von dem zu erwartenden Wert von 50 Kopfwürfen abweichen, so geht man davon aus, dass die Münze fair ist.
Vorüberlegung:
Da der Sachverhalt uns nicht vorgibt auf welche Art die Münze gefälscht wurde, handelt es sich um einen zweiseitigen Signifikanztest. Auch bei dieser Aufgabe sind n (100) und die Entscheidungsregel gegeben.
Rechnung:
n = 50 x = Anzahl der Kopfwürfe
H0: Münze ist fair → 40 < x < 60 → p = 0,5
H1: Medikament ist nicht fair→ x ≤ 40 oder x ≥ 60
→ p ≠ 0,5
P(x ≥ 60) = 1 – P(x ≤ 59) = 1 – F (10;0,5;59) = 0,0284
P(x ≤ 40) = F (10;0,5;40) = 0,0284
α-Fehler = 0,0284 + 0,0284 = 0,0568